Objectif: Contrôler l'aléatoire Les courbes d'autocorrélation (Box et Jenkins, p. 28-32) sont un outil couramment utilisé pour vérifier le caractère aléatoire dans un ensemble de données. Ce caractère aléatoire est déterminé en calculant des autocorrélations pour des valeurs de données à différents décalages temporels. Si elles sont aléatoires, ces autocorrélations devraient être proches de zéro pour toutes les séparations temporelles. Si elle n'est pas aléatoire, une ou plusieurs des autocorrélations seront significativement non nulles. De plus, les diagrammes d'autocorrélation sont utilisés dans le modèle d'identification des modèles auto-régressifs de Box-Jenkins, modèles de séries temporelles mobiles. L'autocorrélation est une seule mesure de l'aléa Notez que non corrélée ne signifie pas nécessairement aléatoire. Les données qui ont une autocorrélation significative n'est pas aléatoire. Cependant, les données qui ne montrent pas d'autocorrélation significative peuvent encore présenter un caractère non aléatoire d'autres façons. L'autocorrélation n'est qu'une mesure du hasard. Dans le contexte de la validation de modèle (qui est le type primaire de hasard que nous décrivons dans le Manuel), la vérification de l'autocorrélation est généralement un test de hasard suffisant puisque les résidus d'un mauvais modèle d'ajustement ont tendance à afficher un aléatoire non subtil. Cependant, certaines applications nécessitent une détermination plus rigoureuse du caractère aléatoire. Dans ces cas, une batterie de tests, qui peuvent inclure la vérification de l'autocorrélation, sont appliqués puisque les données peuvent être non aléatoires de nombreuses façons différentes et souvent subtiles. Un exemple de l'endroit où un contrôle plus rigoureux pour le hasard est nécessaire serait dans le test des générateurs de nombres aléatoires. Exemple de tracé: Les autocorrélations devraient être proches de zéro pour le hasard. Ce n'est pas le cas dans cet exemple et donc l'hypothèse de hasard échoue. Cet exemple de graphique d'autocorrélation montre que la série chronologique n'est pas aléatoire, mais présente plutôt un degré élevé d'autocorrélation entre des observations adjacentes et presque adjacentes. Définition: r (h) versus h Les tracés d'autocorrélation sont formés par l'axe vertical: Coefficient d'autocorrélation où C h est la fonction d'autocovariance et C 0 est la fonction de variance Notez que R h est compris entre -1 et 1. Notez que certaines sources peuvent utiliser le Formule suivante pour la fonction d'autocovariance Bien que cette définition ait moins de biais, la formulation (1 N) présente certaines propriétés statistiques souhaitables et est la forme la plus couramment utilisée dans la littérature statistique. Voir les pages 20 et 49-50 dans Chatfield pour plus de détails. Axe horizontal: Décalage h (h 1, 2, 3.) La ligne ci-dessus contient également plusieurs lignes de référence horizontales. La ligne médiane est à zéro. Les quatre autres lignes sont 95 et 99 bandes de confiance. Notez qu'il existe deux formules distinctes pour générer les bandes de confiance. Si le graphe d'autocorrélation est utilisé pour tester le caractère aléatoire (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de dépendance temporelle dans les données), on recommande la formule suivante: où N est la taille de l'échantillon, z est la fonction de distribution cumulative de la distribution normale normale et ) Est le niveau de signification. Dans ce cas, les bandes de confiance ont une largeur fixe qui dépend de la taille de l'échantillon. C'est la formule qui a servi à générer les bandes de confiance dans le graphique ci-dessus. Les diagrammes d'autocorrélation sont également utilisés dans l'étape d'identification du modèle pour l'ajustement des modèles ARIMA. Dans ce cas, un modèle de moyenne mobile est supposé pour les données et les bandes de confiance suivantes doivent être générées: où k est le lag, N est la taille de l'échantillon, z est la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard et (alpha) est Le niveau de signification. Dans ce cas, les bandes de confiance augmentent à mesure que le décalage augmente. Le diagramme d'autocorrélation peut fournir des réponses aux questions suivantes: Les données aléatoires Est-ce une observation liée à une observation adjacente Est-ce une observation liée à une observation à deux reprises (etc.) Est la série chronologique observée le bruit blanc Est-ce que la série chronologique observée est sinusoïdale Est-ce que la série chronologique observée est autorégressive Qu'est-ce qu'un modèle approprié pour les séries temporelles observées? Le modèle est-il valable et suffisant? La formule s sqqt est-elle valide? L'une des quatre hypothèses qui sous-tendent généralement tous les processus de mesure. L'hypothèse du hasard est d'une importance critique pour les trois raisons suivantes: La plupart des tests statistiques standard dépendent du caractère aléatoire. La validité des conclusions du test est directement liée à la validité de l'hypothèse de randomisation. De nombreuses formules statistiques couramment utilisées dépendent de l'hypothèse de randomisation, la formule la plus courante étant la formule pour déterminer l'écart-type de la moyenne de l'échantillon: où s est l'écart-type des données. Bien que fortement utilisé, les résultats de l'utilisation de cette formule n'ont aucune valeur à moins que l'hypothèse de l'aléatoire tient. Pour les données univariées, le modèle par défaut est Si les données ne sont pas aléatoires, ce modèle est incorrect et non valide, et les estimations pour les paramètres (comme la constante) deviennent non-sens et non valides. En bref, si l'analyste ne vérifie pas le caractère aléatoire, la validité de nombreuses conclusions statistiques devient suspecte. Le tracé d'autocorrélation est un excellent moyen de vérifier l'existence d'un tel aléa. La première étape dans le développement d'un modèle de Box-Jenkins est de déterminer si la série est stationnaire et s'il ya une saisonnalité significative qui doit être modélisé. La stationnarité peut être évaluée à partir d'un diagramme séquentiel. Le tracé de la séquence d'exécution doit montrer un emplacement et une échelle constants. Il peut également être détecté à partir d'un graphe d'autocorrélation. Plus précisément, la non-stationnarité est souvent indiquée par un graphique d'autocorrélation avec une décroissance très lente. Différenciation pour atteindre la stationnarité Box et Jenkins recommandent l'approche de différenciation pour atteindre la stationnarité. Cependant, l'ajustement d'une courbe et la soustraction des valeurs ajustées des données d'origine peuvent également être utilisés dans le contexte des modèles Box-Jenkins. Au stade de l'identification du modèle, notre objectif est de détecter la saisonnalité, s'il existe, et d'identifier l'ordre des moyennes saisonnières autorégressives et saisonnières. Pour de nombreuses séries, la période est connue et un seul terme de saisonnalité est suffisant. Par exemple, pour les données mensuelles, nous inclurons généralement un terme AR 12 saisonnier ou un terme saisonnier MA 12. Pour les modèles Box-Jenkins, nous ne supprimons pas explicitement la saisonnalité avant d'installer le modèle. Au lieu de cela, nous incluons l'ordre des termes saisonniers dans la spécification du modèle au logiciel d'estimation ARIMA. Cependant, il peut être utile d'appliquer une différence saisonnière aux données et de régénérer les parcelles d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle. Cela peut aider à identifier le modèle de la composante non saisonnière du modèle. Dans certains cas, la différenciation saisonnière peut supprimer la plupart ou la totalité de l'effet saisonnier. Identifier p et q Une fois que la stationnarité et la saisonnalité ont été abordées, l'étape suivante consiste à identifier l'ordre (c'est-à-dire les (p) et (q)) des termes autorégressifs et mobiles. Autocorrélation et parcelles d'autocorrélation partielle Les outils primaires pour ce faire sont le graphe d'autocorrélation et le tracé d'autocorrélation partielle. Le graphique d'autocorrélation de l'échantillon et le graphique d'autocorrélation partielle de l'échantillon sont comparés au comportement théorique de ces parcelles lorsque l'ordre est connu. Ordre du processus autorégressif (p)) Spécifiquement, pour un processus AR (1), la fonction d'autocorrélation de l'échantillon devrait avoir une apparence décroissante exponentiellement. Cependant, les processus AR de plus haut ordre sont souvent un mélange de composants sinusoïdaux décroissants et amortis de façon exponentielle. Pour les processus autorégressifs d'ordre supérieur, l'autocorrélation de l'échantillon doit être complétée par un graphe d'autocorrélation partielle. L'autocorrélation partielle d'un processus AR ((p)) devient zéro au décalage (p 1) et plus grand, donc nous examinons la fonction d'autocorrélation partielle de l'échantillon pour voir s'il existe une évidence d'un départ de zéro. Cela est habituellement déterminé en plaçant un intervalle de confiance de 95 sur le graphique d'autocorrélation partielle de l'échantillon (la plupart des programmes logiciels qui génèrent des diagrammes d'autocorrélation d'échantillons vont également tracer cet intervalle de confiance). Si le programme ne génère pas la bande de confiance, il est d'environ (pm 2sqrt), avec (N) indiquant la taille de l'échantillon. (Q)) La fonction d'autocorrélation d'un processus MA ((q)) devient zéro à lag (q 1) et plus, donc nous examinons la fonction d'autocorrélation de l'échantillon pour voir où elle devient essentiellement nulle. Nous le faisons en plaçant l'intervalle de confiance 95 pour la fonction d'autocorrélation de l'échantillon sur le graphique d'autocorrélation de l'échantillon. La plupart des logiciels qui peuvent générer le graphe d'autocorrélation peuvent également générer cet intervalle de confiance. La fonction d'autocorrélation partielle de l'échantillon n'est généralement pas utile pour identifier l'ordre du processus de la moyenne mobile. Forme de la fonction d'autocorrélation Le tableau suivant résume la façon dont nous utilisons la fonction d'autocorrélation de l'échantillon pour l'identification du modèle.
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